Modello atomico di Bohr: riassunto di livelli di energia e spettro dell'idrogeno

Un atomo che per la fisica classica non dovrebbe esistere

Nel modello di Rutherford l’atomo è un nucleo positivo minuscolo, che contiene quasi tutta la massa, con attorno gli elettroni trattenuti dalla sua attrazione. Per l’idrogeno il quadro è il più semplice possibile: un solo elettrone gira attorno a un nucleo di carica unitaria. L’immagine che ne viene fuori è un sistema solare in miniatura, con il nucleo al posto del Sole e l’elettrone al posto di un pianeta.

Il guaio arrivava dalla teoria di Maxwell. Una carica che gira irraggia, quindi l’elettrone dovrebbe perdere energia e stringere l’orbita a ogni giro, fino a cadere sul nucleo lungo una spirale. Durante la caduta emetterebbe uno spettro continuo, come quello di un solido incandescente. Un gas incandescente invece mostra righe separate. Bohr aggiunse un’altra obiezione nel 1913: gli atomi reali, nel loro stato permanente, hanno dimensioni e frequenze del tutto fisse, e un sistema che continua a restringersi non le avrebbe.

Il discorso di presentazione del Nobel del 1922 presenta due sole possibilità: o era sbagliato il modello di Rutherford, o dentro l’atomo la teoria di Maxwell smetteva di valere. Bohr tenne l’atomo di Rutherford, che nella sequenza dei modelli atomici da Dalton a Schrödinger viene subito prima del suo, e ammise che l’elettrodinamica classica non bastasse a descrivere i sistemi di dimensioni atomiche.

Da Manchester al Philosophical Magazine

Niels Bohr nacque a Copenaghen il 7 ottobre 1885. Si laureò in fisica all’università della sua città nel 1909 e prese il dottorato nel 1911. Nell’autunno di quell’anno era a Cambridge, al Cavendish Laboratory diretto da J. J. Thomson; nella primavera del 1912 lavorava a Manchester nel laboratorio di Ernest Rutherford, ed è lì che passò allo studio della struttura degli atomi, partendo dal nucleo scoperto dal suo ospite.

Il lavoro uscì nel luglio 1913 sul Philosophical Magazine con il titolo «On the Constitution of Atoms and Molecules». Quella di luglio era la prima parte, presentata alla rivista da Rutherford in persona, e Bohr la descriveva come un tentativo di portare le idee quantistiche dentro l’atomo di Rutherford. Le sue considerazioni, scriveva, erano preliminari e ipotetiche.

Nel 1916 diventò professore di fisica teorica a Copenaghen. Il Nobel per la fisica del 1922 lo premiò da solo, per gli studi sulla struttura degli atomi e sulla radiazione che ne proviene.

I postulati di Bohr: orbite stazionarie e salti di energia

La teoria dei quanti di Planck aveva introdotto un’idea precisa: certe grandezze fisiche possono assumere solo valori separati. Bohr la portò nelle leggi del moto dell’elettrone, insieme alla costante di Planck h, che chiamava anche quanto elementare d’azione. Ne risultano orbite permesse, gli stati stazionari, su cui l’elettrone non irraggia energia; ci resta finché nulla lo disturba dall’esterno.

I postulati del 1913 sono due. Il primo dice che dentro uno stato stazionario l’equilibrio dell’elettrone si calcola con la meccanica ordinaria, mentre il passaggio da uno stato all’altro sfugge a quelle leggi. Il secondo lega ogni passaggio all’emissione di una radiazione di una sola frequenza, legata all’energia dalla relazione di Planck E = h·ν, dove ν è la frequenza della luce. Bohr riconosceva che il secondo postulato andava contro l’elettrodinamica ordinaria e lo difendeva con i dati sperimentali.

Resta da stabilire quali orbite siano permesse. Bohr espresse la condizione con il momento angolare: sulle orbite circolari vale L = m·v·r = n·h/2π, con n intero (1, 2, 3…). Con la sola fisica classica, cioè uguagliando l’attrazione elettrica alla forza centripeta, l’elettrone potrebbe stare a qualunque distanza dal nucleo e l’energia non avrebbe gradini. È la condizione su L a scegliere i raggi e, insieme a loro, le energie. Per l’idrogeno il numero intero n che conta le orbite è il numero quantico principale.

L’atomo di idrogeno nel modello di Bohr

Dalla quantizzazione del momento angolare escono i raggi delle orbite. L’orbita n-esima ha raggio r = n²·a₀, dove a₀ è il raggio di Bohr, circa 0,0529 nm: è l’orbita più piccola, quella con n = 1, e dà l’ordine di grandezza delle dimensioni di tutti gli atomi. Già con n = 2 il raggio è quattro volte più grande, con n = 3 nove volte.

Lo stesso calcolo fornisce i livelli di energia, che seguono la formula En = −13,6 eV/n². Lo stato fondamentale, n = 1, vale −13,6 eV; il primo stato eccitato, n = 2, vale −3,4 eV, e il secondo −1,5 eV. Il segno meno indica un elettrone legato al nucleo, e l’energia si avvicina a zero man mano che l’elettrone si allontana. Per strapparlo dallo stato fondamentale bisogna fornirgli 13,6 eV, l’energia di ionizzazione: quando n tende all’infinito l’elettrone è libero e l’atomo è ionizzato.

Le energie atomiche sono così piccole che si misurano in elettronvolt, e un elettronvolt vale circa 1,6 × 10⁻¹⁹ joule secondo la scheda della NASA. Per l’energia di ionizzazione dell’idrogeno il NIST riporta il valore misurato di 13,598433 eV, appena sotto i 13,6057 eV della costante di Rydberg espressa in energia.

Esempio pratico: per far salire l’elettrone dell’idrogeno da n = 1 a n = 2 serve un fotone da 10,2 eV, cioè la distanza tra −13,6 e −3,4 eV. L’energia deve arrivare esatta, da un fotone o da un urto con un’altra particella: con un po’ meno, l’elettrone resta dov’è.

Nel 1913, con i valori delle costanti allora disponibili, Bohr calcolò per lo stato fondamentale un diametro dell’orbita di circa 1,1 × 10⁻⁸ cm e un’energia di legame di circa 13 elettronvolt, dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni reali degli atomi e dei potenziali di ionizzazione. Gli stati alti hanno orbite enormi. Atomi di idrogeno con n = 100 sono stati osservati nel vuoto, e il modello assegna loro un diametro di circa un micrometro.

Lo stesso schema vale, cambiando la carica del nucleo, per gli ioni con un solo elettrone, come He⁺ o Li²⁺.

Come il modello di Bohr spiega lo spettro dell’idrogeno

Quando l’elettrone scende da un livello alto a uno più basso, la differenza di energia esce come fotone, e dalla relazione di Planck se ne ricava la frequenza. I livelli sono fissi, quindi lo sono anche le energie dei fotoni possibili: lo spettro dell’idrogeno è fatto di righe. Da uno stato eccitato l’elettrone può tornare allo stato fondamentale in un colpo solo oppure a tappe, fermandosi su livelli intermedi.

Quelle righe avevano una storia lunga. L’analisi spettrale era stata introdotta da Kirchhoff e Bunsen nel 1860, e per cercarvi delle regole si era partiti dall’idrogeno, il gas più semplice. Nel 1885 lo svizzero Johann Balmer trovò una formula semplice che collegava le righe dell’idrogeno allora note; lo svedese Rydberg descrisse con formule simili quelle di altri elementi. In quelle formule compariva una costante, poi chiamata costante di Rydberg, che il CODATA 2022 fissa a 10 973 731,568 157 m⁻¹.

La formula di Bohr per l’energia emessa nei salti riproduce la legge delle righe, e le serie si riconoscono dal livello su cui il salto finisce:

Serie	Livello d’arrivo	Regione	Una riga della serie
Lyman	n = 1	ultravioletto	121,6 nm (salto 2→1)
Balmer	n = 2	visibile	656,3 nm, rossa (salto 3→2)
Paschen	n = 3	infrarosso	1875 nm (salto 4→3)
Brackett	n = 4	infrarosso	—
Pfund	n = 5	infrarosso	—

La serie di Paschen, pubblicata nel 1908, era già nota. Quella nell’ultravioletto estremo e le altre nell’infrarosso lontano Bohr le previde nel 1913, quando nessuno le aveva ancora osservate.

Esempio pratico: un tubo di vetro pieno di idrogeno, eccitato con circa 5000 volt e guardato attraverso un reticolo di diffrazione, mostra la serie di Balmer. Si vedono una riga rossa a 656,3 nm, una blu-verde a 486,1 nm e due violette a 434,0 e 410,2 nm: sono i salti che arrivano su n = 2 partendo da n = 3, 4, 5 e 6.

L’accordo tra teoria e spettro riguardava anche i numeri. Bohr calcolò la costante di Rydberg da altre grandezze note, e nel 1913 il suo valore coincideva con quello osservato entro l’incertezza delle costanti usate. Il discorso del Nobel del 1922 parla di uno scarto dell’1 per cento, poi ridotto dalle misure successive, e racconta che quell’accordo attirò subito sul lavoro l’attenzione ammirata del mondo scientifico.

Il modello rendeva conto anche di dettagli meno evidenti. Nei tubi a vuoto del 1913 si contavano al massimo 12 righe di Balmer, negli spettri di alcuni corpi celesti 33: per Bohr gli stati alti hanno orbite così grandi che possono esistere solo in gas molto rarefatti. L’atomo assorbe le stesse frequenze che emette, ma l’idrogeno in condizioni ordinarie non assorbe le righe di Balmer, che compaiono in assorbimento solo nell’idrogeno luminoso. La spiegazione di Bohr è che a riposo gli atomi stanno nello stato 1, mentre gli assorbimenti di Balmer partono dallo stato 2. Poiché i livelli dipendono dal nucleo di ciascun elemento, la NASA paragona i fotoni emessi a un’impronta digitale: permettono di riconoscere gli elementi presenti in un gas o perfino in una stella.

Dove il modello di Bohr smette di funzionare

Osservate con uno spettroscopio molto potente, le righe dell’idrogeno si dividono in più righe vicinissime, la struttura fine. Sommerfeld la spiegò dentro la teoria di Bohr con orbite ellittiche, eppure anche così si osservano meno righe di quante la teoria ne preveda. Con l’elio, che ha due elettroni, Bohr dovette aggiungere un’ulteriore regola, il principio di corrispondenza; lui stesso aveva avvertito nel 1913 che con più di un elettrone la trattazione diventa molto complicata.

HyperPhysics individua due limiti di fondo. Nel modello l’elettrone ha in ogni istante un raggio e una quantità di moto precisi, come «un pianeta in miniatura», e il principio di indeterminazione vieta di conoscere insieme posizione e quantità di moto. Poi c’è la luminosità delle righe: il modello non sa dire perché alcune siano più intense di altre, né offre un modo per calcolare le probabilità delle transizioni. Anche la condizione sul momento angolare vale solo per orbite circolari, e HyperPhysics nota che in generale non c’è motivo di supporle tali. Nella meccanica quantistica sono le componenti del momento angolare a essere multipli interi di h/2π.

L’equazione di Schrödinger per l’idrogeno ha dato le stesse energie di Bohr, e i livelli calcolati coincidono con gli esperimenti entro una piccola frazione di elettronvolt. A risoluzione altissima compaiono effetti che il modello semplice non contiene: il livello 2p si divide in due per l’interazione spin-orbita, e ci sono il Lamb shift e la struttura iperfine.

Cambia soprattutto l’immagine dell’elettrone. Nella descrizione quantistica la sua posizione si esprime con una probabilità, e al posto dell’orbita piatta c’è l’orbitale, una regione attorno al nucleo dove l’elettrone ha una certa probabilità di trovarsi. Il raggio dell’orbita diventa la distanza media di questa nuvola, e le orbite di Bohr si leggono come i valori più probabili di un intervallo ampio.

Per spiegare le proprietà fisiche e chimiche degli elementi della tavola periodica, scriveva la biografia del Nobel, il quadro di Bohr serviva ancora, una volta corretto dai lavori successivi e soprattutto dalle idee di Heisenberg del 1925. A scuola ne resta il diagramma di Bohr, che dispone gli elettroni di un elemento in gusci attorno al nucleo.